میدان الکتریکی

میدان الکتریکی، خاصیتی در اطراف بار الکتریکی q است که به هر بار الکتریکی دیگر q ′ ، نیرویی (دافعه یا جاذبه) وارد می‌کند. برای تعریف اندازهٔ (شدت) میدان الکتریکی در یک نقطه (که توصیفی از اندازه نیرو الکتریکی را به دست می‌دهد)، یک بار الکتریکی مثبت به اندازه واحد در آن نقطه قرار داده، سپس مقدار نیروی الکتریکی وارد بر این واحد بار را به عنوان شدت میدان الکتریکی تعریف می‌کنند. بار مثبت را نیز به عنوان بار آزمون تعریف می‌کنند. به بیان دقیق‌تر می‌توان شدت میدان الکتریکی را به صورت حد نسبت نیروی الکتریکی وارد بر یک بار آزمون بر اندازه بار آزمون، زمانی که مقدار بار آزمون به سمت صفر میل می‌کند، تعریف کرد.

تعریف میدان الکتریکی

نیرو‌های الکترواستاتیکی همانند نیروی گرانشی در امتداد یه خط مستقیم عمل می‌کنند. این نیروها حتی در زمانی که دو ذره در تماس با یکدیگر نباشند، نیز وجود دارند. برای توضیح این پدیده، مفهومی تحت عنوان میدان الکتریکی تعریف می‌شود. میدان الکتریکی خاصیتی است که هر بار الکتریکی در اطراف خود ایجاد می‌کند.

برای بدست آوردن اندازه و مقدار این خاصیت از جزئی فرضی تحت عنوان بار آزمون استفاده می‌شود. این بار در حقیقت موجودی است که میدان الکتریکی ایجاد شده توسط بار q را حس می‌کند. میدان الکتریکی، برداری فیزیکی اطراف یک بار است که با استفاده از عبارت زیر تعریف می‌شود.

به منظور تاثیر نگذاشتن بر میدان ناشی از q، بار q_۰ به اندازه بینهایت کوچک فرض شده. شبیه‌سازی بین میدان گرانشی دو جرم و میدان الکتریکی دو بار، در شکل زیر نشان داده شده است.

در حقیقت میدان گرانشی را می‌توان هم‌چون میدان الکتریکی، با استفاده از فرمول زیر بیان کرد:

از این رو می‌توان گفت: «بار q میدان E را در اطراف خود ایجاد کرده و نیروی Eq_۰ را به ذره q_۰ وارد می‌کند.»

با استفاده از قانون جمع آثار میدان الکتریکی ناشی از مجموعه‌ای از ذرات را می‌توان با استفاده از جمع برداری میدان‌ها و در قالب سری زیر بیان کرد.

رابطه بالا دقیقا همان‌ مفهومی است که در مطلب قانون کولن در مورد نیروهای وارد شده به مجموعه‌ای از ذرات شرح داده شد.

خطوط میدان الکتریکی

ابتدایی‌ترین روش برای نشان دادن میدان الکتریکی، استفاده از خطوط میدان است. با بکارگیری این خطوط، می‌توان به توصیف درستی از وضعیت میدان الکتریکی در فضا دست یافت. شکل زیر خطوط میدان الکتریکی را برای دو ذره با بار مثبت و منفی نشان می‌دهند.

همان‌طور که در شکل بالا نیز مشخص است، خطوط میدان الکتریکی برای ذرات با بار مثبت به صورت شعاعی دورشونده و همین خطوط برای ذرات با بار منفی به صورت نزدیک‌ شونده هستند. این خطوط برای ذراتی با اندازه برابر و علامت مخالف، به شکل زیر هستند.

جهت تعیین الگوی خطوط میدان می‌توان نکات زیر را مد نظر قرار داد.

1. تقارن: اگر دو بار را با استفاده از یک خط به هم وصل کنیم، الگوی میدان الکتریکی بایستی نسبت به این خط متقارن باشد.
2. میدان نزدیک بار: هنگامی که به اندازه کافی به یک ذره نزدیک می‌شویم، میدان ناشی از آن نسبت به میدان‌های دیگر ذرات، بسیار بزرگ‌تر است. در نتیجه خطوط میدان الکتریکی نزدیک یک بار به صورت کروی در نظر گرفته می‌شوند.
3. میدان دور از بار: در فاصله‌ای بسیار دور از مجموعه‌ای از بارها، خطوط میدان را می‌توان ناشی از یک بار به اندازه $$Q=\sum Q_i$$

3. در نظر گرفت.

در حالت کلی می‌توان ویژگی‌های زیر را برای خطوط میدان تعریف کرد.

1. جهت میدان الکتریکی در یک نقطه برابر با بردار مماس بر خطوط میدان در آن نقطه در نظر گرفته می‌شود.
2. تعداد خطوطِ میدان در واحد سطح، در  صفحه عمود بر خطوط، نشان‌دهنده قدرت میدان در صفحه مد نظر است.
3. خطوط میدان از ذرات با بار مثبت شروع شده و به ذرات با بار منفی ختم می‌شوند.
4. تعداد خطوطی که از بار مثبت خارج و یا به بار منفی وارد می‌شوند، نشان‌دهنده اندازه بارهای الکتریکی مذکور هستند.
5. دو خط میدان الکتریکی،‌ هیچ‌گاه همدیگر را قطع نخواهند کرد.

نیروی اعمال شده به ذره قرار گرفته در میدان الکتریکی

مطابق با شکل زیر فرض کنید که بار مثبت q بین دو صفحه با بار مخالف در حال حرکت است.

همان‌طور که از شکل بالا نیز پیدا است، میدان ناشی از این بار‌ها تنها در جهت y هستند. از این رو می‌توان گفت:

در بالا گفتیم که هرگاه باری در میدان الکتریکی قرار گیرد، میدان مذکور به آن نیرو وارد می‌کند. بنابراین در حالت کلی نیروی وارد شده به بار q که در میدان E قرار گرفته برابر است با:

$$\overrightarrow{F}=\overrightarrow{E}q$$

توجه داشته باشید که در این مثال بار q میدان ناشی از بار‌هایی را تجربه می‌کند که روی صفحات قرار گرفته‌اند. البته شاید این سوال را در ذهن داشته باشید که نیروی ناشی از میدان خود ذره q لحاظ می‌شود؟ پاسخ این سوال منفی است چراکه با توجه به قانون سوم نیوتن بار q به خود نیرویی وارد نمی‌کند. از طرفی با استفاده از قانون دوم نیوتن می‌توان شتاب وارد شده به ذره را به شکل بدست آورد.

به نظر شما سرعت ذره در لحظه رسیدن به صفحه دوم چقدر است؟

با بکارگیری معادلات گالیله، سرعت ذره در لحظه رسیدن به صفحه دوم را می‌توان بشکل زیر بدست آورد.

جالب است بدانید که انرژی جنبشی ذره در لحظه رسیدن به صفحه پایین، برابر است با:

بدست آوردن میدان الکتریکی نیز دقیقا همانند محاسبه نیرو است. در حقیقت میدان ناشی از مجموعه‌ای از بارهای الکتریکی، در نقطه‌ای از فضا را می‌توان با استفاده از برآیند میدان‌های تک‌تک ذرات بدست آورد. برای درک بهتر به مثال‌ ارائه شده در ادامه توجه کنید.

مثال ۱

مطابق شکل زیر دو بار q_a و q_b در فاصله c از یکدیگر قرار گرفته‌اند. تصور کنید که دقیقا در وسط این دو بار، بار جدید q_c را قرار می‌دهیم.

در این حالت نیروی وارد شده به بار q_c چقدر است؟ بار‌ها و فواصل در این مسئله به شرح زیر هستند.

$$q_a=\mathrm{۵۰}\mu C{q}_b=\mathrm{۱۰۰}\mu C{q}_c=\mathrm{۲۰}\mu Cc=\mathrm{۱.۰}m$$

با توجه به مفاهیم بیان شده در قانون کولن، می‌توان نیروی ناشی از بار‌های a و b را به صورت جداگانه روی ذره c محاسبه کرد. اما روش آسان‌تر این است که میدان الکتریکی را در نقطه c محاسبه کنیم و با قرار دادن بار c در آن نقطه، نیروی وارد به بار را بدست آوریم. بنابراین میدان الکتریکی ناشی از بار‌های q_a و q_b به ترتیب برابر هستند با:

در نتیجه برآیند میدان الکتریکی در نقطه c را می‌توان به شکل زیر بدست آورد.

علامت منفی پشت میدان الکتریکی نشان دهنده این است که میدان الکتریکی برآیند در این نقطه در خلاف جهت محور x است. با استفاده از فرمول F=Eq می‌توان نیروی وارد شده به بار c را به صورت زیر محاسبه کرد.

توجه داشته باشید که در محاسبه نیروی ناشی از میدان روی یک ذره، بایستی علامت بار و علامت میدان را اعمال کرد.

توزیع پیوسته بار‌های الکتریکی

در واقعیت معمولا میدان الکتریکی ناشی از توزیع پیوسته‌ای از بار مورد بررسی قرار می‌گیرد. در چنین مسائلی در ابتدا میدان ناشی از دیفرانسیلی از بار را محاسبه کرده و پس از آن با استفاده از انتگرال‌گیری، میدان تمامی بارها را محاسبه می‌کنیم. در حقیقت باری به اندازه dq را در نظر می‌گیریم و میدان ناشی از آن را بدست می‌آوریم. در شکل زیر دیفرانسیل بار و میدان الکتریکی ناشی از این جزء نشان داده شده.

مهم‌ترین نکته در این روش یافتن رابطه‌ای منظم بین بار‌ها و میدان الکتریکی به نحوی است که امکان انتگرال‌گیری وجود داشته باشد. به‌منظور محاسبه میدان ناشی از توزیع پیوسته‌ای از بار‌های الکتریکی در ابتدا نیاز داریم تا مفهومی تحت عنوان «چگالی بار» (Charge Density) را تعریف کنیم.

چگالی بار

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، میدان الکتریکی ناشی از تعدادی بار الکتریکی را می‌توان با استفاده از روش جمع آثار بدست آورد. معمولا توزیع‌های پیوسته بار الکتریکی، در قالب مفاهیمی هم‌چون چگالی حجمی، سطحی و یا خطی بار الکتریکی بیان می‌شود.

چگالی حجمی بار الکتریکی

شکل زیر توزیع حجمی پیوسته‌ای از بارهای الکتریکی را نشان می‌دهد. بدیهی است که این توزیع،‌ میدانی الکتریکی را در نقطه دلخواه P ایجاد خواهد کرد.

از این رو در ابتدا جزء حجمی به اندازه $$\Delta V_i$$

را در نظر بگیرید. همان‌طور که می‌دانید این جزء شامل باری الکتریکی است که آن را با $$\Delta q_i$$

نشان می‌دهیم. با این فرضیات چگالی حجمی بار الکتریکی که تابعی از بردار r است را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

در سیستم SI واحد کمیت تعریف شده در بالا برابر با C/m^۳ است. با توجه به رابطه بالا کلِ بارهای موجود در یک سیستم را می‌توان با استفاده از انتگرال‌گیری زیر محاسبه کرد.

برای درک بهتر چگالی بار الکتریکی می‌توانید از مفهوم چگالی جرمی استفاده کنید. در حقیقت عبارت زیر، معادل با رابطه بالا برای حالتی است که می‌خواهیم جرم کل یک سیستم را محاسبه کنیم.

چگالی سطحی بارهای الکتریکی

مشابه با حالت حجمی، در حالت مواجه با مسئله‌ای دوبعدی، می‌توان از مفهوم چگالی سطحی بار الکتریکی استفاده کرد. از این رو چگالی سطحی سیستمی با مساحت سطح A و بار q با استفاده از رابطه زیر تعریف می‌شود.

واحد σ در سیستم SI برابر با C/m^۲ است. با استفاده از تعریف چگالی سطحی، بار کل موجود در یک سطح دوبعدی را می‌توان به شکل زیر محاسبه کرد.

چگالی خطی بارهای الکتریکی

میله‌ای به طول l را تصور کنید که حاوی باری الکتریکی به اندازه q است. برای این میله چگالی خطی به شکل زیر محاسبه می‌شود.

واحد λ در SI برابر با C/m است. با توجه به تعریف انجام شده،‌ می‌توان کل بار موجود در یک سیستم یک بعدی را با استفاده از انتگرال زیر بدست آورد.

معمولا توزیع بار در مسائل را به صورت یکنواخت در نظر می‌گیرند. در حقیقت اعداد ρ ،σ و λ برابر با مقادیری ثابت در تمامی دامنه توزیع بار در نظر گرفته می‌شوند. حال با توجه به تعریف مفهوم چگالی، قادریم تا میدان الکتریکی ناشی از توزیع پیوسته بار‌های الکتریکی را محاسبه کنیم.